Un amable lector de mi Web me escribe lo que sigue: “Navegando por la web encontré su página donde resuelve el problema de la máquina quitanieves, y hace el comentario que la proporción aurea aparece inesperadamente en ciertos problemas”. Si recuerdan, el problema de la quitanieves lo glosé en una columna hace más de cuatro años. Después de varios comentarios, que no vienen al caso, me propone para su resolución, el siguiente problema:
“En un predio cuadrado, en la esquina inferior izquierda se encuentra el Lobo Feroz, en la esquina inferior derecha se encuentra Caperucita Roja. Caperucita no se percata del Lobo, pero el Lobo si, e inmediatamente se dirige a ella. Caperucita sigue su camino hacia la casa de la abuela que se encuentra en la esquina superior derecha. Por ponerle un numero, digamos que la velocidad de Caperucita es un metro por segundo, mientras que el Lobo corre a dos metros por segundo ¿Alcanza el Lobo a Caperucita antes de llegar a la casita? y si es así ¿En qué punto del trayecto?” Y especifica: “El Lobo siempre corre en dirección a su objetivo. Ambos se empiezan a mover simultáneamente”.
Me pareció un problema interesante, y como marchaba de viaje unos días, durante el mismo, inicié mis primeros tanteos. Ya de vuelta, un segundo tanteo me condujo a considerar que el cambio continuo de dirección del Lobo, por el movimiento rectilíneo y uniforme de Caperucita, exigía que su trayectoria había de ser curvilínea. Recordando viejos tiempos resolví el problema gráficamente, a mano. Así obtuve una curva que cortaba la trayectoria de Caperucita en un punto de solución aproximada. El lado vertical derecho del cuadrado es la trayectoria rectilínea de Caperucita y la curva dibujada, la del Lobo.
Basándome en la posición de los puntos de la gráfica, trayectoria del lobo en función de la de Caperucita, deduje fórmulas recurrentes que me permitían encontrar las coordenadas de la posición del Lobo en cada movimiento de Caperucita. Con ellas, y los datos, apliqué el programa Excel que me permitió construir la tabla de valores y diseñar la trayectoria del Lobo que me ofreció el punto de encuentro de ambos personajes.
Siempre que se tercia, no desaprovecho la oportunidad de ofrecer a los amables lectores de “El Faro de Málaga”, si es que existen, aquellas cosas de tan gran ciencia que puedan ser divulgadas en una publicación de sus características. Invito al lector a que intente la resolución. Si no lo logra, y siente interés por ella. me pide el resultado de mis deducciones que con sumo gusto le remitiré. Buen mes de Agosto.
Manolo Outes
El argumento estaba equivocado, pero el resultado parece que no.
El lado del predio cuadrado es k.
Si el lobo siempre mira a Caperucita esto quiere decir que esa mirada sigue el curso de la tangente a la curva que va describiendo en su tránsito, con origen en ese punto de la curva y con el otro extremo en el punto donde se encuentra Caperucita.
En cada momento el lobo se encuentra en el punto de ordenada y. El tramo recorrido por Caperucita es g.
g es igual a la suma de y más el cateto del triángulo rectángulo opuesto, cuyo valor en cada instante es y’(k-x). El cateto adyacente es el lado del precio menos el valor de la abscisa (o sea k-x).
Es decir, g = y + y’(k-x).
La longitud de la curva recorrida hasta cada momento por el lobo es el doble, es decir
L = Longitud de la curva = 2g = 2(y + y’(k-x))
Pero la longitud de la curva es también la integral de (1+y’^2)^(1/2).
De aquí resulta:
L = 2(y + y’(k-x)) = 2(y + y’(k-x)) = ∫√(1+y’^2)
Esta ecuación diferencial da origen a un resultado muy enrevesado, pero como lo que nos interesa es el punto de encuentro, nos quedamos con hacer k = x, a ver qué le pasa a la ordenada:
y + y’(k - k) = (1/2) ∫√(1+y’^2)
y = (1/2) ∫√(1+y’^2)
Derivando:
y’ = (1/2) √(1+y’^2)
Elevando al cuadrado:
y’^2 = (1/4) (1+y’^2)
Resolviendo:
y’ = 1/√3
E integrando:
y = x/√3
Como x = k
y = k/√3
Es decir, que el punto de encuentro se produciría en la ordenada del recorrido de Caperucita equivalente al lado del predio partido por la raíz de 3.
Si estoy equivocado, ¿en qué parte habrá sido?