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La cuadratura del círculo


Ante un problema insoluble se recurre a la muletilla de cuadrar el círculo como suceso imposible. Cuadrar una figura consiste en determinar un cuadrado equivalente. Esto es: que tenga la misma superficie.

Encontrar un cuadrado equivalente a un círculo ha sido un problema que ha traído de cabeza a los matemáticos a través de los siglos. La irracionalidad de pi, (Π), impide tal encuentro. Hoy no hay matemático que se le ocurra intentarlo.

Sin embargo, aunque la presencia de pi, (Π), en el área de las figuras circulares se hace casi imprescindible, hay casos particulares en que no se cumple. Voy a citar dos de ellos: Uno, antiquísimo: las lúnulas de Hipócrates. Otro, más reciente, el llamado problema florentino. En ambos casos, el área de las figuras resultantes es independiente de pi, (Π), por lo que pueden cuadrarse. Encontrar un cuadrado equivalente, como ya se ha dicho.

Eran ejercicios que se nos proponían: de Geometría elemental el primero, y cálculo integral el segundo, como recurso didáctico para afianzar conocimientos y fuerte motivación, al resolverlos, para continuar con otros problemas de mayor calado.

Hipócrates de Chíos[i] es un matemático de la llamada época heroica de la matemática griega en cuyo siglo V a.C., vivió. La lúnula es una figura plana limitada por dos arcos de circunferencia de radios distintos. Si la construimos sobre un cuadrante de cuadrado, por ejemplo, se demuestra que su área es equivalente a la de ese cuadrante. Puede verse en este enlace.

Se llama problema florentino o bóveda de Viviani al enunciado y resuelto por Vincenzo Viviani en el siglo XVII. Es clásico como aplicación del cálculo integral a la determinación de áreas. Se trata de la porción de superficie resultante de una semiesfera al ser cortada por dos cilindros tangentes cuyos diámetros son los radios de la semiesfera. Ver figura y exposición. El área de la bóveda es equivalente a la de un cuadrado de lado igual al diámetro de la semiesfera.

La particularidad del problema es que la superficie de la bóveda, siendo parte de una esfera, es independiente de pi,(Π), y por tanto cuadrable.

Cuando lo estudié, por primera vez, Al término de la resolución leí como conclusión: “este resultado en la época de su descubrimiento, llamó mucho la atención, porque representa el primer ejemplo de una superficie curva limitada curvilíneamente y, sin embargo, ‘cuadrable’, por no figurar pi, (Π), en el resultado”[ii]. Aún me maravilla.

La proyección actual de lo dicho a la situación política española es como la cuadratura del círculo: Inviable. Sin embargo se atisban particularidades como las lúnulas y bóveda de Viviani que permiten vaticinar situaciones que conduzcan a resultados insospechados. Tempora mutantur, et nos mutamur in illis: (Los tiempos están cambiados y nosotros cambiamos con ellos).     

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<a name="_edn1"></a>[i] No confundir con Hipócrates de Cos, el del juramento.

<a name="_edn2"></a>[ii] Tomado de R. Rothe, I, Editorial Labor,  1959, pag. 497.

 

Comentarios
  • Manuel Rodríguez

    5 March 2016

    Complementariamente con lo dicho, merece la pena ampliar los ejemplos propuestos. Así a la cuadratura del círculo apela Dante en su divina Comedia (Part XXXIII 135-137, traducción Bartolomé Mitre) con estos versos:
    “Como afanoso geómetra procura,
    sin hallar el principio que le mueva,
    del círculo encontrar la cuadratura;”

    Y respecto a la bóveda de Viviani, se demuestra que su volumen es los ocho novenos del cubo del radio de la esfera, (8/9R3), también independiente de pi. Vale.

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