Los poliedros regulares

Hace tiempo que no escribo de Matemáticas. No sé por qué tal ocurrencia. Quizá por su estética.

Los poliedros regulares, si recuerdan de la escuela, son cinco: Tetraedro, con cuatro caras triángulos equiláteros. Exaedro o cubo, con seis caras cuadradas. Octaedro, con ocho caras triángulos equiláteros. Dodecaedro, con doce caras pentágonos regulares e icosaedro, con veinte caras triángulos equláteros.

Un lector atento preguntaría de inmediato ¿Y por qué cinco y  sólo cinco?

La razón humana puede dar respuesta a tal pregunta, si y solo si tiene conocimientos previos donde “enganchar” los nuevos conceptos a adquirir.

¿Cuáles deben ser esos conocimientos previos? Señalemos algunos: Polígono regular, su clasificación y propiedades ¿Por qué? Porque el poliedro regular es un cuerpo  cuyas caras son

polígonos regulares. Ángulo poliedro, el formado por la intersección de tres planos, como mínimo, cuyas intersecciones coinciden en un punto llamado vértice. Ángulo plano que es el formado alrededor de un punto de un plano cuya medida es 360º sexagesimales.

Para poder formar un ángulo poliedro se ha de partir de un ángulo menor de 360º. La figura plana más elemental es el triángulo y el regular se llama equilátero. La pregunta

¿Se puede formar un ángulo poliedro con tres caras triángulos equiláteros. Como los ángulos del

triángulo equilátero miden 60º, 3x60º=180º<360. Se puede. Es el tetraedro, con cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas.

¿Y con 4? 4x60º=240º<360. Se puede. Es el octaedro, con ocho  caras, seis vértices y doce aristas.

¿Y con 5? 5x60º=300º<360. Se puede. Es el icosaedro, con veinte caras, doce vértices y treinta aristas.

¿Y con 6? 6x60º=360º=360º. No se puede.

Tenemos pues tres poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros.

La figura plana elemental que sigue es el cuadrilátero y el regular se llama cuadrado cuyos ángulos miden 90º. La pregunta

¿Se puede formar un ángulo poliedro con tres caras cuadradas? Como los ángulos del

cuadrado miden 90º, 3x90º= 270º<360. Se puede. Es el exaedro o cubo , con seis caras, ocho vértices y doce aristas.

¿Y con 4? 4x90º= 360. No se puede.

La figura plana elemental que sigue es el pentágono y el regular  cuyos ángulos interiores miden 108º. La pregunta

¿Se puede formar un ángulo poliedro con tres caras pentagonales? Como los ángulos del pent.agono miden 108º, 3x108º= 324º<360. Se puede. Es el dodeaaedro, con doce caras, veinte vértices y treinta aristas.

¿Y con 4? 4x108º> 360º, no se puede.

La figura plana elemental que sigue es el exágono y el regular  cuyos ángulos interiores miden 120º.

¿Se puede formar un ángulo poliedro con tres caras exagonales? Como los ángulos del exágono miden 120º, 3x120º=360. No se puede.

Ya está respondida la pregunta.

Complementariamente enunciaremos el teorema de Euler: En todo poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Simbólicamente: C + V = A+ 2

Finalmente decir que dos poliedros son conjugados si el número de caras de uno es igual al de vértces del otro. Así son conjugados  el cubo y el octaedro; el dodecaedro y el icosaedro. El tetraedre es conjugado de sí mismo. Señoras y señores: la clase ha terminado. Gracias por su atención.

NOTA: Figuras en este enlace: https://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/21003232/helvia/sitio/upload/conoce_las_mates__solidos___solidos_platonicos.pdf