Fractales (y II)

Con el propósito de completar la idea de fractal expuesta en anterior columna desarrollo el siguiente ejemplo. Sugiero al amable lector que se acerca a esta columna, siga los pasos que se reseñan en ella. Así: Tome un papel y dibuje como iniciador, un triángulo equilátero; el generador sería, dividir cada lado en tres partes iguales. Sobre la parte central de cada lado, se construye otro triángulo equilátero; elimine o borre la base y habrá generado una estrella de seis puntas o estrella de David.

Repita una y otra vez, hasta que pueda, el mismo proceso en los segmentos de los gráficos resultantes. De esta forma se van modelando curvas fractales.

Si en vez de un triángulo equilátero se toma otra figura geométrica como iniciador: cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc., manteniendo el mismo generador, se obtendrían otras tantas figuras inimaginables.

En la columna anterior reseñaba: “Dos características esenciales concurren en los fractales: La dimensión y la iteración”. En el ejemplo propuesto del triángulo equilátero, se establece un proceso para dibujar una curva fractal, tal curva recibe el nombre de “isla triádica de Koch o copo de nieve K”. Sin embargo cabría preguntarse ¿Cuál es la dimensión de esa curva generada por auto similitud?

El concepto de dimensión fractal es de sumo interés porque constituye la base que conforma la curva fractal.

Tal cuestión se resuelve de forma general mediante fórmulas matemáticas cuyo desarrollo aquí, parece improcedente. Sin embargo podemos hacernos una idea analizando el gráfico con el ejemplo expuesto del triángulo equilátero. Veámoslo:

Supongamos que la longitud del lado del triángulo vale tres unidades (3). Al descomponerla en tres partes (3) la longitud de cada una de estas partes es un tercio de tres, por tanto una unidad (1). El número de segmentos iguales de cada lado de longitud uno (1) es cuatro (4). La relación de la longitud de esa figura con la anterior es cuatro tercios (4/3) que nos da una idea de la dimensión fractal de esa curva.

Si iteramos el proceso indefinidamente se comprueba que  la relación existente entre las longitudes de las figuras resultantes en cada iteración con las de la figura anterior es 4/3, mayor que la unidad. Así la longitud de cada curva generada se incrementa en un tercio de la anterior.

Si suponemos que la figura representa el perfil de una isla podemos concluir que su longitud varía sustantivamente con la escala elegida.

Quede ahí todo lo dicho, en ambos escritos, como orientación por si despertara con ellos la curiosidad en algún lector. Y si quiere ampliar el contenido expuesto, lo puede hacer cada quien escribiendo en Google: “fractales” y verá figuras mágicas y artísticas así como desarrollos bastante pormenorizados de la teoría.

Fuente: La Geometría fractal de la naturaleza de Benoît Mandelbrot. Barcelona 1997.